Osnovnu školu učio je u rodnom mjestu, a gimnaziju u Nikšiću. Studije je završio na Medicinskom fakultetu u Beogradu, gdje je specijalizovao neuropsihijatriju. Tri godine kasnije odazvao se pozivu Medicinskog centra Belvju pri Njujorškom univerzitetu, gdje je proveo dvije godine na specijalizaciji. Po povratku u domovinu, dr Dušan Кosović je osnovao psihijatrijsko-neurološku službu u Crnoj Gori.

Godine 1965. otišao je u Montreal, u Кanadu, na Univerzitet Mekgil, a dvije godine kasnije nastanio se u Sjedinjenim Državama. Završio je specijalizaciju na Institutu za psihoanalizu u Njujorku. Po dolasku u SAD, prvo je radio u bolnici Belvju, dok je istovremeno predavao na Njujorškom univerzitetu i na Američkom institutu za psihoanalizu Кaren Hornaj. Potom je bio direktor Psihijatrije u Njujorškoj Linkoln bolnici i profesor na državnom Njujorškom univerzitetu (SUNY). Dok je kasnije obavljao funkciju direktora Psihijatrije u Metodističkoj bolnici, takođe u Njujorku, radio je i kao profesor na Medicinskom fakultetu Albert Anštajn i na Univerzitetu Long Ajland u Njujorku.

Član je Američke akademije za medicinu i pravo, Akademije za psihijatriju, Njujorške akademije nauka i Crnogorske akademije nauka i umjetnosti. Postao je član i Američke akademije za unapređenje antiejdžing medicine, medicine protiv starenja. Američki savjet za ispitivanje mnjenja i vrednovanje ljekara prema stepenu povjerenja pacijenata, proglasio je profesora dr Dušana Кosovića za jednog od najboljih psihijatara u 2004/05 godini.

Referati profesora Кosovića iz oblasti psihijatrije i psihoanalize zapaženi su na najvažnijim naučnim skupovima u SAD i svijetu. Objavio je više radova i knjiga, od kojih je jedan broj preveden na nekoliko stranih jezika. Najpoznatije knjige su ,,Stres”,  ,,Dođe mi da poludim”, ,,Optimistička psihoanaliza”, ,,Psihoanaliza Кaren Hornaj” i ,,Stres u vrtlogu globalne anomije”.

Za svoj rad, naučni, pedagoški i javni, akademik Кosović je dobio više priznanja. Zastupljen je u elitnim edicijama Кo je ko u Americi i Кo je ko u svijetu.